Trong các nghiên cứu thực tiễn thường gặp nhiều các hợp hai
hay nhiều biểu thức có mối quan hệ với nhau theo một số cách cụ thể. Có 4 dạng
hệ thống mà các biểu thức có liên quan với nhau như sau:
- Hệ thống biểuthức gần như không liên quan (Seemingly unrelated equation system)
- Hệ thống biểuthức đồng thời (Simultaneous equation system)
- Hệ thống biểu thức đệ quy (Recursive equation system)
- Hệ thống đệ quy Block (Block recursive system)
2. Hệ thống biểu thức gần như không liên quan
2.1 Giới thiệu
Trong hệ thống các biểu thức gần như không liên quan, sự
liên quan lẫn nhau giữa các biểu thức xảy ra vì các lý do sau:
- Thành phần sai số trong các biểu thức khác nhau có mối liên quan với nhau
- Điều này xảy ra nếu có những yếu tố chung không quan sát được có tác động ảnh hưởng đến các biến giải thích (độc lập) trong mô hình.
- Các tham số trong các biểu thức khác nhau có liên quan với nhau.
- Điều này xảy ra nếu một hoặc một số tham số giống nhau cùng xuất hiện ở một số biểu thức, hoặc nếu một hoặc các tham số trong một biểu thức có mối quan hệ tuyến tính hoặc phi tuyến với những tham số khác trong các biểu thức còn lại khác.
Các biểu thức của mô hình này thường gặp trong các vấn đề
kinh tế như: (i) Các hàm cầu đầu tư của các doanh nghiệp trong một ngành; (ii)
Các hàm cầu cầu tiêu dùng của các nhóm sản phẩm từ hình thành hành vi tối đa
hóa hữu dụng; (iii) Các hàm cầu nguyên vật liệu đầu vào hình thành từ vấn đề tối thiểu hóa
chi phí hoặc tối đa hóa lợi nhuận...
2.2 Đặc điểm
Xét ví dụ sau về mối liên hệ giữa điểm số phần đọc (read)
trong mối quan hệ với các điểm số khác như điểm toán (math), điểm viết (write)
và điểm xã hội (socst) trong sự liên hệ của một hệ thống các môn học khác, chẳng
hạn môn khoa học. Theo đó, điểm khoa học của một học sinh bị ảnh hưởng bởi giới
tính (female), điểm toán (math) của từng học sinh. Hệ thống 2 biểu thức này được thể hiện như sau:
read = b0 + b1*math + b2*write + b_3*socst + e_r
science = g0 + g1*female + g2*math + e_s
Trong đó: b0, b1, b2, và b3 là các hệ số cắt và độ dốc cho read; e_r là phần dư của phương trình cho read; g0, g1, và g2 là các hệ số cắt và độ dốc cho science; e_s là phần dư của phương trình cho science
Giả sử, chúng ta có M biểu thức được xem là có mối quan hệ với
nhau (vì thành phần sai số bị tương quan với nhau).
 |
| Hệ thống các biểu thức có mối liên hệ với nhau |
Một cách tổng quát, hệ thống gồm M biểu thức hồi quy dường
như không liên quan này có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau:
 |
| Ma trận hệ thống các biểu thức SUR |
Trong đó yi là một vectơ cột Tx1 của các quan sát cho biến phụ thuộc thứ i; Xi là một ma trận TxK của các quan sát cho các biến giải thích; bi là vectơ cột Kx1 của các tham số cho biểu thức thứ i; và mi là vectơ cột Tx1 của thành phần sai số cho biểu thức thứ i. T là số quan sát, K là số biến giải thích, M là số phương trình.
Đây là dạng tổng quát của biểu thức ước lượng. Việc kết hợp
M biểu thức riêng rẻ vào một biểu thức tổng quát như trên được thực hiện bằng
cách xếp chồng các vectơ và ma trận như hình bên dưới:
Mô hình này được dựa trên các giả định sau:
- Dạng hàm của biểu thức tổng quát là dạng tuyến tính theo các tham số:
- Thành phần sai số của biểu thức tổng quát có giá trị trung bình bằng 0:
- Phân bố của sai số trong biểu thức tổng quát không có dạng phân bố hình cầu (nonspherical) và thỏa mãn các giả định sau: (a) Phương sai sai số của mỗi biểu thức riêng rẻ là không đổi. (b) Phương sai của sai số có thể khác nhau ở các biểu thức riêng rẻ. (c) Các sai số của mỗi biểu thức riêng rẻ là không có tự tương quan. (d) Các sai số giữa các biểu thức khác nhau là có sự tương quan đồng thời.
- Thành phần sai số của biểu thức tổng quát có phân phối chuẩn:
- Thành phần sai số của biểu thức tổng quát không có tương quan với các biến giải thích trong xác định ma trận phương sai - hiệp phương sai trên.
Ma trận sigma, S, là một ma trận MxM bao gồm phương sai và hiệp phương
sai của M biểu thức riêng rẻ; ma trận đơn vị I và tích Kronecker của S và I, được trình bày ở hình sau:
 |
| Ma trận phương sai - hiệp phương sai |
2.3. Phương
pháp ước lượng
Để ước lượng các tham số của mô hình SUR, cần thiết phải lựa
chọn một ước lượng thích hợp. Chúng ta xem xét 4 loại ước lượng sau:
- Ước lượng bình phương thông thường tối thiểu (OLS): ước lượng OLS là không thiên chệch nhưng không hiệu quả, và không phải là một ước lượng hợp lý cực đại (MLE)
- Ước lượng bình phương tổng quát tối thiểu (GLS): Ước lượng GLS là một ước lượng không khả thi, bởi vì các phần tử của ma trận phương sai – hiệp phương sai, W, trong biểu thức tổng quát là chưa được biết.
- Ước lượng bình phương tổng quát tổi thiểu khả thi (FGLS) theo phương pháp Zellner hay còn gọi là ước lượng SUR của Zellner hay gọi tắt là ước lượng SUR. Ước lượng FGLS là tiệm cận với ước lượng GLS và cũng là một ước lượng hợp lý tối đa (MLE). Vì vậy, nó cũng có những tính chất tiệm cận với sự không thiên chệch, hiệu quả và nhất quán
- Ước lượng bình phương tổng quát tối thiểu khả thi lặp (ITGLS): Một ước lượng khác thay thế ước lượng FGLS là ước lượng lặp FGLS (IFGLS). Ước lượng lặp IFGLS được sử dụng phổ biến nhất được gọi là ước lượng lặp SUR của Zellner hay ITSUR.
 |
| Các công thức ước lượng của các phương pháp |
Ước lượng ITSUR có tính chất tiệm cận như SUR (FGLS). Tuy
nhiên, có những tranh luận vẫn đang tiếp diễn về tính hiệu quả của ước lượng
ITSUR hay SUR tốt hơn đối với cở mẫu nhỏ. Đa phần các nhà kinh tế lượng có thiên
hướng sử dụng ITSUR nhiều hơn. Mô hình SUR suy biến có thể giải thích cho điều
này.
read = b0 + b1*math + b2*write + b_3*socst + e_r
science = g0 + g1*female + g2*math + e_s
- Phương pháp OLS
 |
| Kết quả hồi quy OLS cho biểu thức read |
 |
| Kết quả hồi quy OLS cho biểu thức science |
- Phương pháp FGLS hay SUR
 |
| Ước lượng SUR hay FGLS |
- Phương pháp ITSUR (đôi khi còn gọi là ISUR hoặc IFGLS)
 |
| Ước lượng ITSUR |